| Beispiel 1: |
Ein Artz behauptet, dass 40% aller Patienten mit
einem bestimmten Krankheitsbild auf ein neu entwickeltes Medikament
positiv ansprechen. Zu diesem Zweck wurde eine Testgruppe aus 27
Personen zusammengestellt. Das Signifikanzniveau
soll a = 2% betragen, d.h. seine Nullhypothese
"40% sprechen positiv an" darf nur mit einer Wahrscheinlichkeit von 2%
angenommen werden, obwohl sie falsch ist.
Wie
müssen die Ergebnisse sein, dass die Nullhypothese angenommen
werden darf?
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| Also: |
Nullhypothese : P(A) = 40%
; Alternativhypothese P(A)
< 40% |
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Testumfang n=27
; Anzahl der Patienten = z |
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Erwartungswert E = P(A) * n =
0.4*27 = 10.8 |
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a = 0.02=P(not A)= 1- P(z <= k), es wird
also jenes k gesucht, welches die beste Näherung ergibt. |
| SBV1.1 |
Also werden SBV1.1 folgende Daten gegeben: P(A) =
0.4 ; n = 27 ; x = 0 ; y = 27 |
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Es ergeben sich P(k <= 15) = 0.9663 und P(k
<= 16) = 0.9866. Daraus folgt, dass P(k > 16) = 1-0.9886
= 0.0114 = 1.14% < 2% |
| Ergebnis: |
Die Nullhypothese wird abgeleht bei: z =
{0...15} und angenommen bei z = {16...27} |
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| Beispiel 2: |
Ein Glücksspielautomat gibt dem Spieler
eine 49.5%ige Gewinnchance. Der Automat hat eine Lebensdauer von
1500000 Spielen. Wie groß ist die Chance, dass der Hersteller
in dieser Zeit Geld verliert? |
| Also: |
Gesucht ist P( k > 750000) = 1 - P( k
<= 750000), damit die Wahrscheinlichkeit, dass die Spieler
öfter gewinnen, als verlieren. |
| SBV1.1 |
Also werden SBV1.1 folgende Daten gegeben: P(A) =
0.49.5 ; n = 1500000 ; x = 0 ; y = 750000 |
| Ergebnis : |
P(k < 750000) =
0.9999999999999999999999999999999999145115262380667576912203614757 |
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<=> P(k>750000) = 1-
P(k< 750000) = ca. 0.96 * 10^(-36).
Da Casinos
weitaus miesere Gewinnchancen bieten, kann man sich vorstellen, dass
die NIE verlieren.
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| Beispiel 3: |
Eine Firma bekommt regelmäßig
Elektronikbausteine geliefert. Der Hersteller gibt an, dass nur 1% der
Teile defekt sein könnten.
a) Bei
einer Überprüfung von 1500 Teilen ergeben sich 21
defekte Bausteine, also 1.4% defekte Bauteile. Sollte die Firma den
Liefervertrag kündigen?
b) Bei
einer Überprüfung von 210 Teilen ergeben sich 3
defekte Bauteile, also 1,4%. Wie sieht es hier aus?
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| Also: |
Nullhypothese P(A) = 0.01 mit Erwartungswert E =
0.01*1500 = 15 |
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gesucht ist P(k <= 15) und
1-P(k<=15) |
| SBV1.1 |
wird mit a) n= 1500, P(A) = 0.01, x=0 uind y = 15
gestartet. |
| Ergebnis: |
a)
| P(k <= 103) = 0.9478, das heißt: |
| Die Wahrscheinlichkeit einen Fehler 1. Art zu
begehen, also die Lieferung zu beanstanden, obwohl sie korrekt ist,
beträgt 1-0.9478 = 5.22%. |
| Die Wahrscheinlichkeit einen Fehler 2. Art zu
begehen, also die Lieferungen anzunehmen, obwohl sie NICHT korrekt ist,
beträgt 94.78%. |
b)
| P(k <= 3) = 0.8395, das heißt: |
| Die Wahrscheinlichkeit einen Fehler 1. Art zu
begehen, also die Lieferung zu beanstanden, obwohl sie korrekt ist,
beträgt 1-0.8395 = 16.05%. |
| Die Wahrscheinlichkeit einen Fehler 2. Art zu
begehen, also die Lieferungen anzunehmen, obwohl sie NICHT korrekt ist,
beträgt 83.95%. |
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| Beispiel 4: |
Die Mathe-Geeks Bob und Uwe spielen
Mensch-gräm-dich-nicht. Als Uwe gnadenlos gewinnt, behauptet
Bob, dass Uwes Würfel gezinkt sei, da Uwe in 57
getätigten Würfen 23mal die sechs gewürfelt
hat.
Uwe
behauptet, dass das nur Glück sei. Wie "groß"
wäre dieses Glück?
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| Also: |
Nullhypothese P(A) = 1/6
SVB1.1 mit
P(A) = 0.1666666666666666 und n = 57.
1-P(k
<=23) = 1-0.99999478331= 0,00000521669 oder 1:191692
....ziemlich "groß", aber nicht unmöglich........
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| Zusatz
Beispiel: Mathematisch
besonders ausführlich zum Thema Null-und Alternativ- Hypothese |
Uwe spiele gerne "Mensch gräm dich nicht",
aber nur so lange er auch gewinnt. Deshalb hat er einen Würfel
erworben, bei dem der Hersteller versprach, dass P(6) = 0.5 ist. Uwe
will vor seinem ersten Spiel jedoch noch schnell testen, ob es sich
nicht doch um einen ordinären Würfel handelt. Er
wählt einen Test mit Umfang 20 und einem Signifikanzniveau von
20%.
Welchen
Annahmebereich erhält die Nullhypothese H0: P(6) = 0.5 und
welche Wahrscheinlichkeit haben Fehler 1. und 2. Art.
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| Also: |
X sei die Anzahl der Sechser und binomialverteilt. |
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n = 20 sei der Umfang des Tests |
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S = {0;...;20} sei der Ergebnisraum von X |
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Es gibt 2 Hypothesen abzuwägen. |
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1. Nullhypothese H0: P(6) = 0.5 mit dem
Erwartungswert E1(x)= 20*0.5 = 10 |
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2. Alternativhypothese mit H1: P(6) = 1/6 mit
Erwartungswert E2(X)=20*1/6 ~= 3.3 |
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Ein Signifikanzniveau von 20% bedeutet, dass
für den Fehler 1.Art gelten soll a <= 0.2. |
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Für die Ergebnismenge S =
{0;1...;k}{k+1;...;20} gilt also die Bedingung
a=SBV(k;20;0.5)<=0.2 |
| Ergebnis: |
Aus SBV1.1 mit n=20, P(A) = 0.5 ergibt sich P(k
<=7) zu 0.1316 und P(k<=8) = 0.2517. Also wird
für k <=7 das Signifikanzniveau kleiner als 20%. |
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Damit gilt für den Annahmebereich S =
{0;1;2;...;7}{8;9;...;20} |
| Bewertung: |
Es gilt also für den Fehler 1.Art "H0
verworfen obwohl richtig" mit n = 20 und P(A)=0.5 : a =
P(X<=7) =0.1316 |
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Es gilt für den Fehler 2.Art "H0 als
richtig angenommen, obwohl falsch bzw. H1 als falsch angenommen, obwohl
richtig" mit n = 20 und P(A) = 1/6 (!!!!) b = P(X>=8)
= 1-P(x <= 7) = 1-0.9887=0.0113 |
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